脱出！！ - コップ水の日記

20051028訂正　
20051104さらに訂正。元ので良かったｗ（球の体積を求める時に3で割るのを忘れてたｗ）
昨日の疑問ですが、地球上で垂直跳び50cmの人が戻ってこれなくなる天体の大きさは、天体が完全な球形、地球と同じ密度だと仮定すると、直径が3.4kmぐらいのようです。一方イトカワは約５００ｘ３００メートルだそうですので、ジャンプしたら宇宙へいけてしまうｗｗｗ。こんなに引力が弱いと歩行も難しいでしょう。ボブ・サップだったら、軌道をあからさまに変えられるかも？
イトカワの質量が公開されたら、垂直跳び何センチで戻ってこれなくなるかを計算してみよう。ただ、ジャンプのために足に溜めを作るのに、すごい時間がかかりそうだ。
以下計算。

$\Large m$ :ジャンプする人の質量　 $\Large g$ :地球の重力加速度　 $\Large h$ :地球での垂直跳びの高さ　 $\Large G$ :万有引力定数　 $\Large M$ :球状天体の質量　 $\Large r$ :球状天体の半径　 $\Large z$ :天体の表面からの距離 $\Large \rho$ :天体の密度*1
地球上で垂直跳び50cmの人が、ジャンプしてえられる運動エネルギーは　 $\Large \frac1 2mv^2 = mgh$ 　であり、
球状天体の表面からの距離zにおける位置エネルギー　 $\Large\frac{GmM}r-\frac{GmM}{r + z}$ 　と等しくなるzを求める。
　 $\Large mgh = \frac{GmMz}{r(r + z)}$
これをzに関して解くと　 $\Large z=\frac{ghr^2}{GM-ghr}$ 。
この式に
$\Large M=\frac{4}{3}\pi{r^3}\rho$
を代入すると、
$\Large z=\frac{ghr^2}{\frac{4}{3}\pi\rho Gr^3-ghr}$
となる。
ここで、 $\Large z$ が発散する条件をもとめる。すなわち、以下の式を解く。
$\Large \frac{4}{3}\pi\rho Gr^3-ghr=0$
$\large r$ は正なので、
$\Large r=\sqrt{\frac{gh}{\frac{4}{3}\pi\rho G}}$
$\Large G=6.673 \times 10^{-11} m^3 kg^{-1} s^{-2}$ ,　 $\Large \rho=5515 kg m^{-3}$ ,　 $\Large g=9.78 m s^{-2}$ ,　 $\Large h=0.50m$
それぞれの数値を入れて計算すると、
$\Large r=1.7\small 8\large km$
したがって、球状天体の半径が1.7kmすなわち直径が3.4kmよりも小さければよい。

*1:地球と同じと仮定しました。月や火星は地球よりも密度低い